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[單車運動方程式]

 

F_t - F_rr - F_ad - F_gr = ma + Iα/R

 

F_t : 傳至驅動輪的施力矩torque, 經摩擦轉換成單車前進的驅動力.

F_rr : 滾動阻抗rolling resistance. 車輪滾動前進產生的阻力.

F_gr : 坡度阻抗gradient resistance. 重力於運動方向的分力. 上坡為阻力; 下坡為助力.

F_ad : 空氣阻抗air drag. 與相對車速的平方成正比. 相對車速>0時為阻力; <0時是助力.

ma : 驅動單車平移前進的淨分力. 單車質量m, 單車加速度a.

Iα/R : 驅動車輪轉動的淨分力. 車輪轉動慣量I, 車輪角加速度α, 車輪半徑R.

另有機械阻抗mechanical drag, 主要是鏈條和軸承的摩擦力, 通常極小, 可忽略不計.

此處單車包含單車及其所承載的人與物.

 

簡單來說就是, 我們腳踩踏板對單車施力, 這個力轉換成摩擦力, 驅動單車前進.

前進的過程中, 車輪滾動會有阻抗, 損耗能量.

碰到逆風會有阻力, 順風風速大於車速時會有助力.

騎上坡會有阻力, 下坡會有助力.

所有這些驅動力, 助力和阻力相加減後所剩的淨力, 驅使車輛前進及車輪轉動.

 

可是等一下, 摩擦力不是阻力嗎?

單車如何靠阻力前進?

到處找資料, 得到一些更深入更複雜的說法.

 

騎士腳踩踏板產生力矩傳到車輪.

此力矩驅使車輪轉動, 並對接觸路面施加往後的摩擦力.

同時路面也對輪胎施加往前的反作用摩擦力.

這個往前的反作用摩擦力就是驅動單車系統往前的摩擦力.

 

這些說法似乎解釋了什麼, 可是很難說自己更理解其中的道理, 反而腦中出現更多疑問.

為什麼施加的是”力矩”, 而得到的是摩擦”力”?

這個回到車輪的摩擦力為什麼不是抵消施加的力矩, 卻成為往前驅動力?

追根究柢還是在於自己對摩擦力運作機制的理解不夠深入.

再找新資料, 重看舊資料, 可是每個人講的都不一樣.

而且找不到有人從頭到尾講出一番道理來.

維基百科甚至出現"…但是有例外，也就是摩擦力和運動方向相同，例如:走路。..."

直接將疑問當結論, 改寫摩擦理論!

剛好最近肌肉拉傷不能騎車, 就開始用鍵盤滑鼠騎單車, 嘗試說出一番道理來.

自己設想狀況提問, 自己解答, 甚至思考到失眠幾晚.

不過倒覺得有一點挑戰, 也挺有趣的.

先複習一下 摩擦力  .

 

我們接著來瞧瞧單車如何將施力轉為施力矩傳到車輪.

以下只討論前進的運動, 不考慮後退的情形.

而且假設車輪與路面初始為靜止狀態.

 

[施力轉施力矩T]

對踏板施力, 經曲柄與大盤的轉換並傳遞到鏈條上.

鏈條上的力傳遞至飛輪產生力矩.

飛輪將此力矩傳遞至驅動輪, 即單車的驅動施力矩.

 

## 腳踩施力F

腳踩踏板施力, 但是只有與曲柄垂直的分力才能產生有效力矩.

腳相對曲柄的一些角度比較容易施力或施力與曲柄較接近垂直, 其有效施力就較大.

所以腳踩踏板驅動曲柄轉一圈時, 單腳的有效施力會由小變大再變小.

轉一圈360^o為一週期, 單腳有效施力與角度的關係 參考網站  Figure 3.

 

這種隨角度大小變動, 而且又週期性循環的量適合用極坐標來表示.

極坐標以角度為自變數, 以與原點的距離為量值的大小.

將上面右腳施力的圖轉為極坐標會得到一個接近橢圓的圖形.

此橢圓的一端有效施力較大, 離原點較遠; 另一端有效施力較小, 距原點較近.

兩腳交替施力, 其合力矩在一周期內會有兩個峰值.

在極坐標上會是一個像斜躺的8的”花生”圖形.

兩個近似半橢圓的施力分別為主要來自左右腳的施力.

參考 網站圖 . 

圖中以原點垂直向上為0^o和360^o , 左腳在上, 角度依逆時針方向增加.

原點垂直往下為180^o , 此時右腳在上左腳在下.

 

整顆”花生”越圓, 或說它的腰越粗, 就表示有效施力越平均.

但是一般初學者畫出來的”花生”腰通常比較細.

上卡並用畫圓的方式增加拉提的施力, 可以讓”花生”的腰粗一點.

 

施力隨時間和角度而變化並不影響我們往後的討論.

我們仍以垂直曲柄的施力F開始.

 

## 曲柄與大盤, 力矩平衡+力的轉換

曲柄和大盤固定在一起, 同步以BB為軸心轉動, 其所受的力矩相同.

但兩者旋轉半徑不同, 相同力矩所對應的力就不同, 踏板上的力因而傳遞並轉換至鏈條上.

腳踩踏板施垂直力F, F對曲柄產生力矩T₁ , 驅動曲柄轉動.

曲柄同時帶動大盤轉動, 大盤對鏈條施力F_c; 鏈條對大盤產生反作用力-F_c .

曲柄與大盤力矩平衡時順時針力矩=逆時針力矩.

 

F_c R_a = T₁ = F L

F_c = F L / R_a 

 

L : 曲柄長度

R_a : 大盤半徑

另外騎士產生的功率P_biker = F L ω_a = T₁ ω_a , ω_a為曲柄大盤轉速

 

## 鏈條與飛輪, 傳遞力產生施力矩T

大盤對鏈條施力F_c , 鏈條將F_c傳遞至飛輪, 對飛輪產生力矩T, 帶動飛輪轉動.

 

T = F_c R_b

 

R_b : 飛輪半徑

飛輪受力矩T驅動轉動, 同時帶動同軸的驅動輪同向同步轉動.

此力矩T=F_cR_b即是驅動輪的輸入力矩, 或施力矩.

   

 

## 變速系統

騎士個人會有最適宜的施力大小, 配合最適宜的踩踏頻率, 產生最適宜的功率.

而個人最適宜的施力與腳踩頻率的組合也可能隨時依體能狀況或心情而改變.

另一方面, 騎乘時會遭遇大小差異大的阻力和加速力, 對施力矩的需求差異就大.

變速系統可以改變施力F與施力矩T的比值.

讓騎士可以保持較適宜的施力大小, 還能滿足騎乘時對施力矩不同的需求.

 

由T/R_b = F_c = T₁/R_a 可得F = TR_a/(L_cR_b) 或 T = FL_cR_b/R_a .

就大盤和飛輪而言, 其半徑比=圓周比=齒數比.

以CT大盤50/34齒, 飛輪11~32齒, 相同施力F和相同的腳踩頻率為例.

變速調整為前50後11時, R_a/R_b = 50/11 = 4.55 .

此時產生的施力矩最小, 但是腳踩一圈後輪會跟著轉4.55圈, 適合高速巡航.

變速調整為前34後32時, R_a/R_b = 34/32 = 1.06 .

此時產生的施力矩最大, 但是腳踩一圈後輪只跟著轉1.06圈, 適合低速阻力大的情況.

調整變速可得的最大施力矩是最小施力矩的4.28倍.

而較大施力矩的代價是較小的車輪轉速.

 

## 力矩平衡與轉動加速度

前面使用力矩平衡的觀念來解釋力的傳導與大小.

力矩平衡適用於靜止或轉速不變的情況下.

當騎士想要單車加速時, 腳會增加施力驅動大盤和飛輪轉動加速, 帶動車輪和單車加速.

此時對曲柄的施力產生的力矩與鏈條反作用力產生的力矩間會存在淨力矩.

此淨力矩驅動曲柄大盤的轉動加速.

但曲柄大盤飛輪的轉動慣量相對來說很小, 所需加速力矩也小, 實際上可忽略.

而單車方程式以車輪上的摩擦反作用力F_t為驅動力, 也已排除此淨力矩.

 

驅動輪受到力矩, 因摩擦作用, 轉為力驅動單車前進.

煞車輪受到負力矩, 同樣因摩擦作用, 轉為力制動單車前進.

所有車輪都會受到力驅動往前; 或負力制動減速.

車輪受力和車輪受力矩產生的效應不同, 可以互相比較看看.

 

 

[施力矩轉驅動力F_t]

施力矩T傳到驅動輪驅使車輪轉動, 輪胎與路面接觸而產生轉動rotation摩擦.

輪胎轉動對路面產生往後的摩擦力.

路面也同時對輪胎施加往前的反作用摩擦力.

這個往前的摩擦力就是驅動單車往前的力F_t .

 

## 相對運動?

這裡有個疑問, 那就是轉動摩擦時, 怎樣才算產生相對運動呢?

當兩轉動物體在接觸點的切線速度不同時, 就會產生轉動摩擦的相對運動.

先將斜坡路面想像成一個半徑無限大的圓形可轉動物體(地球圓周的一小部分, 也沒錯啦).

當車輪空轉時, 其切線速度大於靜止的斜坡路面, 所以存在相對運動.

但是車輪滾動向前時, 路面接觸點同時前移, 如同車輪與斜坡路面同時轉動.

兩者切線速度相同, 所以不存在轉動摩擦的相對運動.

這不容易理解, 但是想不出更好的解釋.

     

 

## 轉動靜摩擦, F_rfs驅動車輪向前

當T不足以驅使輪胎與路面在接觸面產生相對運動時為靜摩擦.

此時力矩平衡, 輸入力矩T等於靜摩擦力產生的反向力矩.

 

T = F_rfs R

F_rfs = T /R

 

F_rfs : 車輪對路面轉動靜摩擦力

F_rfs所產生的負力矩恰抵消T, 車輪淨力矩為零, 無空轉無損耗.

F_rfs即施力矩經轉動靜摩擦轉換的單車前進驅動力F_t.

 

F_t = T /R

 

## 轉動動摩擦, 車輪空轉損耗

若T太大, 造成車輪與路面的相對運動, 則為動摩擦, 車輪產生空轉.

 

F_rfk = μ_rkrmgcosθ   < F_rfsmax

 

F_rfk : 車輪對路面轉動動摩擦力

μ_rk : 動摩擦係數

r : 驅動輪所承受的單車總重力比率

rmgcosθ : 驅動輪承受的重力rmg的正向分力

F_rfk形成負力矩, 抵消部分的T, 同時對輪胎造成形變再回復, 或改變結構, 產生損耗.

F_rfk在輪胎處造成損耗, 並未轉換為驅動力.

 

F_t = 0

 

## 動摩擦力矩與轉速的動態調整, 平衡 T=F_rfkR

T > F_rfkR時, 多餘的力矩會產生角加速度α>0, 驅使車輪空轉轉速ω_s增加.

車輪轉速ω =ω_s +ω_r , (ω_r =v/R, 滾動轉速).

若輸入功率P = Tω固定, 則ω增加, T會減少.

T減少使α減少, ω增加速率變少, 最終達到平衡ω.

平衡時 T=F_rfkR, 無淨力矩, 無角加速度, ω_s無增減.

此時施加力矩功率=空轉消耗功率.

 

## 動摩擦轉為靜摩擦

車輪空轉時, 若減少T使T<F_rfkR , 則T-F_tfkR負力矩產生角加速度α<0.

負角加速度使車輪空轉轉速ω_s減少.

等到ω_s=0, 車輪無空轉, 變為靜摩擦.

 

F_t = F_rfs = T /R

 

 

[車輪受力滾動]

由於車輪易轉動的特性, 故單車受力前進時, 最有效率的方式是車輪滾動rolling前進.

車輪受力滾動前進, 會同時產生轉動rotation運動和平移translation運動.

而且其平移速度v與轉動外圈的切線速度ωR大小相同.

 

車輪受力向前, 對路面施加向前的摩擦力.

路面也同時對輪胎施加向後的反作用摩擦力.

此摩擦力可分解為平移摩擦力和轉動摩擦力.

 

 

## 平移動摩擦-滾動阻抗

車輪滾動前進時, 其質心與路面有相對運動, 所以是處於平移動摩擦狀態.

所有的滾動輪都有固定的平移動摩擦力F_tfk .

此F_tfk即一般所謂的滾動阻抗力 rolling resistance.

 

F_rr = C_rr mgcosθ = F_tfk

 

滾動阻抗係數C_rr 即平移動摩擦係數μ_tk .

F_rr造成輪胎形變, 輪胎滾動前進會產生形變-回復的循環, 而損耗能量.

相同輪胎之形變與C_rr具正向關係, 故根據形變大小可比較C_rr大小.

假設其它條件不變, 形變大小可以定性解釋下列因素對C_rr的影響.

 

# 胎壓越大, C_rr越小

胎壓越大, 輪胎形變越小, C_rr越小.

胎壓80psi比120psi要多出>10%的C_rr.

參考 網站1 , 其20 watts大約對應C_rr = 0.006.

參考 網站圖2 , 其320g對應C_rr = 0.0064.

但是, 胎壓越大對於路面小凹凸的過濾能力越差, 舒適度就越差.

 

# 輪胎越寬, C_rr越小

輪胎越寬, 切線方向形變越小, C_rr越小.

所謂其它條件不變, 包含輪胎材質, 設計, 紋路和胎壓都要相同.

但是一般相同材質, 設計, 紋路的輪胎, 輪胎越寬, 其最大耐壓會越低.

而且輪胎越寬, 迎風截面積越大, 風阻就越大.

所以輪胎寬窄須依實際情況取捨.

 

# 輪胎或路面越平整, C_rr越小

路面越是凹凸不平, C_rr就越大; 輪胎也是.

但是越野時, 卻是需要較多的輪胎突起和紋路來保持轉動靜摩擦.

所以不同的路面狀況須要對輪胎特性有所取捨.

 

# 使用過的輪胎, C_rr較小

輪胎使用過, 可磨損多餘易形變物質, 使接觸面變平整變寬, 這些均可降低C_rr.

 

## 轉動靜摩擦-產生力矩驅使車輪轉動

車輪滾動時與地面無切線相對運動, 故為轉動靜摩擦.

此向後的靜摩擦力成為力矩驅使車輪轉動, 並與單車前進同步.

車輪轉動外圈的切線速度=ωR=單車速度v.

車輪轉動外圈的切線加速度=αR=單車加速度a.

此靜摩擦力即是車輪滾動時, 驅動車輪轉動的力F_r.

 

F_r = F_rfs = Iα/R = Ia/R²

 

先前談到施力矩時, 有一個F_rfs=F_t為施力矩轉換而成的驅動力.

此處的F_rfs=F_r則是最終淨驅動分力轉換成力矩, 驅動車輪轉動, 與車輪平移同步.

兩者可能同時存在, 但方向相反.

F_t由施力矩而來; F_r則由最終淨驅動力而來, 用以產生力矩.

故單車運動方程式中將此F_r=Iα/R列於右側, 與ma同步.

 

 

[煞車braking]

煞車也是個有趣的議題.

有的人說煞車皮與輪圈/碟盤的摩擦將動能轉換成熱能消散, 達到減速的效果.

有些人又說輪胎與路面的摩擦將動能轉換成熱能.

到底煞車時單車的動能是在哪裡消耗轉換成熱能? 煞車還是輪胎?

來瞧瞧吧.

假設單車煞車時初始狀態為車輪滾動前進.

 

## 負力矩

煞車系統對輪框(或碟盤)施加垂直壓力F_bn, 此壓力會在輪框(或碟盤)上產生摩擦力F_bt.

F_bt在車輪上產生與驅動力矩方向相反的負力矩T_b=F_btR_b .

R_b為煞車皮接觸點至轉動軸心的距離.

 

## 負力矩轉為制動力

T_b抑制輪胎轉動, 同時對路面施加往前的摩擦力.

路面也對輪胎施加往後的反作用摩擦力F_b.

F_b為抑制單車系統前進的向後力.

  

## 車輪滾動, 煞車為動摩擦

當煞車力矩T_b不足以造成車輪與路面的轉動相對運動時, 車輪仍滾動前進.

車輪處於轉動靜摩擦與平移動摩擦狀態下.

車輪平移動摩擦力即滾動阻抗F_rr損耗不變.

轉動靜摩擦力, 無損耗, 但對單車是減速制動力.

 

F_b = F_bfs = T_b /R

 

F_b=F_bfs產生負加速度及負角加速度, 同步對單車減速及對車輪減轉速.

 

此時車輪仍轉動, 煞車摩擦面兩側有相對運動, 故煞車處為動摩擦.

動摩擦力F_bt損耗單車的動能, 使煞車接觸面和周邊的溫度升高.

煞車處損耗功率

 

P_b = P_brake = F_bt R_b ω = F_b R ω = T_b ω = F_b v

 

當單車速度減至零, 車輪轉速也同時減為零, 單車停止前進.

 

## 車輪滾動+滑動, 煞車為動摩擦

若煞車力矩T_b太大, 造成車輪與路面的轉動相對運動, 則車輪產生滑動.

車輪處於轉動動摩擦與平移動摩擦狀態下.

車輪平移動摩擦力即滾動阻抗F_rr損耗不變.

輪胎處F_b為轉動動摩擦力, 損耗單車動能, 使接觸面和周邊的溫度升高.

 

F_b = F_bfk

P_tire = F_bfk (v-Rω)

 

F_b=F_bfk產生負加速度及負角加速度, 同步對單車減速及對車輪減轉速.

輪胎處僅滑動部分產生損耗.

 

只要車輪有轉速, 輪胎還有滾動成分, 煞車處就還是動摩擦.

此時煞車處F_bt仍損耗單車動能, 使接觸面和周邊的溫度升高.

 

P_brake = T_b ω = F_bt R_b ω = F_bfk R ω

P_b = P_brake + P_tire = F_bfk v

 

此時煞車和輪胎處同時損耗單車動能.

除F_bfk外, 淨煞車力矩T_b-F_bfkR會產生角加速度α<0, 驅使車輪轉速ω減少.

 

## 車輪滑動, 煞車為靜摩擦

當ω減至0而v尚未為0時, 車輪無轉動, 如同被煞車鎖住, 輪胎滑動前進.

當車輪被煞車鎖住時, 煞車摩擦面兩側無相對位移, 煞車變成靜摩擦.

車輪處於轉動動摩擦與平移動摩擦狀態下.

 

等一下, 煞車鎖住, 輪胎不是不轉了嗎?

哪來轉動動摩擦?

再看一下, 滑動時, 輪胎接觸點切線與地面是有相對運動的ㄡ…

 

車輪平移動摩擦力即滾動阻抗F_rr損耗不變.

 

F_b = F_bfk

P_b = P_tire = F_bfk v

 

F_b=F_bfk產生負加速度及負角加速度, 同步對單車減速及對車輪減轉速.

此時單車的動能消耗在輪胎處, 輪胎與路面接觸面的溫度會升高.

當單車速度減至零, 單車停止前進.

 

## 最佳煞車效果

最佳煞車效果出現在F_b = F_bfsmax , 車輪滾動前進時.

此時F_bt = F_bfsmax R/R_b為動摩擦力, 煞車處消耗最大功率.

 

P_bmax = P_brake-max = F_bfsmax R ω = F_bfsmax v

 

從滑動產生而變為動摩擦起, 整體煞車損耗的功率即為F_bfkv, 只是損耗會從煞車處轉到輪胎.

另外, 車輪滑動前進會讓操控(尤其是轉向)變得異常困難.

汽機車的ABS就是要防止或解除煞車鎖住輪胎滑動的情形, 並控制F_b在F_bfsmax附近.

 

## 解除煞車鎖住

煞車鎖住車輪滑動時, F_b = F_bfk 為固定的動摩擦力.

此時減少煞車正向壓力F_bn, 即可減少煞車力矩T_b.

當T_b比F_bfkR小時, 淨力矩F_bfkR –T_b 產生車輪角加速度, 使車輪轉速ω增加.

只要ω>0, 車輪有了轉速, 煞車鎖住解除.

車輪轉速ω持續增加, 直到ω =v/R, 輪胎切線速率與車速相同, 輪胎接觸點無相對運動.

此時車輪無滑動, F_b = T_b /R為靜摩擦力, 車輪減速但滾動前進.

 

 

[坡度阻抗gradient resistance]

坡度阻抗就是重力在行進方向的分力.

 

F_gr = mgsinθ

 

雖然稱為阻抗, 但下坡時sinθ<0, 負F_gr其實是助力.

F_gr作動能與位能間的轉換, 它並不損耗能量.

當騎士努力騎上坡時, 為對抗F_gr所做的功變成位能.

理想無煞車不損耗的狀況下, 此位能在下坡時以負F_gr提供前進助力.

 

## 上坡輪胎空轉

上坡角度θ越大, 阻力F_gr就越大.

此時需更大的驅動摩擦力F_t=T/R來對抗阻力並保持速度或加速.

但是驅動摩擦力上限F_rfsmax=μ_rsrmgcosθ卻同時隨著θ增加而減小.

所以θ越大, T/R就越容易超過F_rfsmax 轉為動摩擦, 車輪產生空轉.

 

θ增加到達一個臨界值θ_t, 單車就只能保持速度.

輸入力矩T變大或變小都會讓a<0, 單車減速.

只要上坡角度θ > θ_t , 該單車就不可能騎上坡.

 

μ_rsrmgcosθ_t - mgsinθ_t - C_rrmgcosθ_t - F_ad = ma+F_r 0

(μ_rsr - C_rr)cosθ_t - sinθ_t = F_ad /mg

sinθ_t = (μ_rsr - C_rr)cosθ_t - F_ad /mg

 

所以μ_rs , r, m越大, 或C_rr , F_ad 越小, θ_t就越大, 上坡空轉越不容易發生.

但是μ_rs常與C_rr(=μ_tk)同向改變, 所以減低胎壓以增加μ_rs常會同時增加C_rr , 須取捨.

而且後輪負重比率r越大, 陡坡翹前輪的可能性更高, 也應注意.

 

## 下坡車輪滑動

下坡時F_gr為前進助力, 且負角度θ越大, F_gr就越大.

所以下坡煞車時, 需更大的制動力F_b 來增加阻力以減速.

但是F_b上限F_bfsmax = μ_bsmgcosθ卻同時隨著lθl增加而減少.

所以lθl越大, F_b就越容易超過F_bfsmax 變成動摩擦力.

F_b超過F_bfsmax時, 車輪滑動, 煞車鎖住.

 

lθl增加到達一個臨界值θ_t, 單車只能保持速度, a=0.

煞車力矩變大或變小都會讓單車加速, 即a>0.

此時F_t為負的制動力, 且sin(-θ_t)= -sinθ_t ; cos(-θ_t)= cosθ_t

 

-μ_bsmgcosθ_t + mgsinθ_t - C_rrmgcosθ_t - F_ad = ma+F_r 0

sinθ_t - (μ_bs + C_rr)cosθ_t = F_ad /mg

sinθ_t = (μ_bs + C_rr)cosθ_t + F_ad /mg

 

所以μ_bs , C_rr , F_ad越大, 或m越小, θ_t就越大, 下坡車輪滑動越不容易發生.

減低胎壓以增加μ_bs和C_rr可防止下坡車輪滑動.

另外潮濕路面的μ_bs會比較小, 下坡要更小心.

 

## 上坡翹前輪

假設單車往右上坡前進, 車輪順時針滾動前進.

以後輪軸心為支點, 當單車受到逆時針力矩大於順時針力矩時, 單車就會翹前輪.

一般騎乘時, 騎士施加在單車上的淨力總合是垂直往下的重力和加速反作用力.

此外騎士也會對單車施力, 只是施力的合力為零.

騎士的重力, 施力和加速反作用力施加在單車的坐墊, 踏板和手把上, 會產生不一樣的力矩.

 

我們先看重力的影響.

平地騎乘時, 重心落於前後輪軸心之間, 重力與地面的反作用力抵消.

此時重力相對於後輪軸心產生的力矩也被地面施於前輪的反作用力矩抵消.

再假設單車+人+物的重心與後輪軸心連線的垂直角度為θ_mh.

上坡θ角騎乘時, 垂直重力與後輪軸心的等效力臂會變為平地的sin(θ_mh-θ)/sinθ_mh .

等效力臂減少, 重力產生的順時針力矩就減少.

若θ增加使θ_mh-θ<0^o , 重力產生逆時針力矩, 單車翹前輪.

  

 

所以θ_mh與單車騎陡坡是否容易翹前輪有直接的關係.

而除了個人姿勢之外, θ_mh又跟車架幾何直接相關.

以捷安特官網上的照片為例, 看看幾種車的坐墊中心到後輪軸心連線的垂直角度為何.

Propel Advanced 2-E: 14^o, tan14^o =25%

TCR Advanced 1 KOM: 17^o, tan17^o =31%

ESCAPE 1: 25^o, tan25^o =47%

 

所以如果在>25%的陡坡上騎Propel, 個人重心又偏坐墊後方, 是會翹前輪的.

相對來說, TCR比Propel不易翹前輪; ESCAPE又更不容易.

 

然後再來看施力的影響.

當騎士用力腳踩踏板時, 其它部分(手或屁股)也同時對單車施加反向力.

一般人習慣腳踩踏板往前往下施力, 手或屁股就會同時對手把或坐墊往後往上施力.

手把和坐墊到後輪軸心的距離(即力臂)大於BB至後輪軸心的距離.

所以雖然淨施力為零, 但是逆時針淨力矩卻大於零.

 

最後是加速反作用力的影響.

如果有淨力可驅使單車往前加速時, 單車會對騎士施加部分的淨力, 驅使騎士同步加速.

騎士也同時對單車的坐墊, 手把和踏板施加相同大小的往後反作用力.

這些往後的力對單車後輪軸心產生淨逆時針力矩, 更增翹前輪風險.

 

陡坡的重力順時針力矩較少, 起步施力大加速大, 逆時針力矩也大, 一增一減, 容易翹前輪.

這也就是為什麼常常在陡坡上起步會翹前輪.

 

25%已經是非常陡的坡了, 而台灣的小山路裡, 瞬間接近25%坡度的路段還是有機會碰到.

遇到了怎麼辦呢?

當然最好是下來牽車.

如果是我, 就算不翹前輪也騎不上去.

不過既然是滑鼠鍵盤騎單車, 講講道理也無妨.

 

同樣以Propel為例.

其上手把至後輪軸心連線的垂直夾角~58^o, 約157%坡度.

BB/踏板至支點的垂直夾角更大.

所以遇到急陡坡, 起來抽車, 將重力移至手把和踏板上就對了.

而且起來抽車, 多用重力往下踩踏, 減少對手把往上的施力, 也減少逆時針力矩.

另外則是要將變速換輕檔, 不求加速, 以減少施力, 同時減少逆時針力矩.

 

## 下坡前翻

下坡時, 整體重心對前輪軸心的垂直角變小, 力臂變小, 逆時針力矩變小.

下坡坡度大到一個程度, 重心超過前輪軸心, 產生順時針力矩, 單車會前翻.

除了重力效應之外, 還有煞車效應.

煞車負力矩對單車產生往後的制動力, 使單車減速.

此制動力施於單車, 其中大部分再由單車經由手把施於騎士.

騎士的手也同時對手把施以相同大小往前的反作用力.

對單車前輪軸心來說, 此往前的力產生順時針力矩, 增加前翻的可能性.

另外下坡煞車時, 騎士的手如果不夠用力固定, 身體會自然前移, 重心又更往前.

這是為什麼下陡坡煞車會容易前翻.

 

坐墊和BB/踏板至前輪軸心的垂直夾角比手把的垂直夾角大很多.

所以下陡坡應該減少手部下壓或前推手把的力, 將身體重心盡量移轉至坐墊和踏板.

另外下越陡的坡, 速度應該越慢.

平常就應稍微煞車保持車速不過快, 避免急煞車, 瞬間制動力太大, 造成前翻.

當然, 如同上坡, 下坡有加速力時, 騎士也會對前輪軸心產生淨逆時針力矩.

所以急陡坡的瞬間加速是可以避開某些程度的前翻可能性.

但這不是每個人都能操控得宜.

只能說, 小伙子有練過, 小朋友和老伯伯不要學.

 

以前看過有人說, 上坡重心前移, 下坡重心後移, 大概是這個意思吧.

只是我會改為上陡坡重心前移, 下陡坡重心後移.

一般<10%左右的坡應該無需多慮.

 

 

[空氣阻力air drag]

 

F_ad = C_d ρ A v_ad² /2

 

C_d : 空氣阻力係數.

ρ : 空氣密度.

A : 正交投影面積.

v_ad : 相對車速, v_ad = v - v_a , v_a是風速.

/2 : 除以2, 但是為什麼不併入C_d?

 

## 相對車速v_ad

雖然相對車速v_ad = v - v_a <0時, 風是助力.

但是一般而言, 我們只考慮空氣為”阻力”的情況.

空氣阻力與相對車速的平方成正比.

所以一般平路相對車速超過20 Km/h後, 空氣阻力就成為最主要的阻力.

 

高速騎車時, 就算順風不是助力, 阻力也小很多.

舉個例子, 一日雙塔時速30 Km/h, 有順向蒲福3級風16 Km/h.

再假設相對車速18 Km/h時, 空氣阻力等於其它阻力總合.

則其空氣阻力只有無風時的22%.

而總阻力也只有無風時的42%.

所以只要3級順風就能只花不到一半的力氣完成一日雙塔!

 

另外值得一題的是, 功率消耗P_ad = F_ad v .

風速為零時, v_ad=v, 功率消耗與v的三次方成正比.

 

## 正交投影面積A

我用”迎風截面積”來想像會容易一點.

F_ad與此截面積A大小成正比.

高速競速時, 不但姿勢要減少截面積, 服裝和器材也很講究.

緊身服, 修腿毛(?), 窄輪胎和窄車身都可以減少迎風截面積.

減少幅條數或使用板輪也是可以減少迎風面截面積.

 

平常休閒騎遇強逆風, 身體趴一點就容易往前了.

若想靠順風往前推, 則是要抬頭挺直腰桿, 增加迎風截面積.

 

## 空氣密度ρ

有一些公式將空氣密度的因素合併進C_d中, 並未特別列出.

我想空氣密度會列入公式中應該是跟飛機火箭飛彈之類的討論有關.

那些飛行器會碰到空氣密度差異很大的環境.

那什麼環境變因會改變空氣密度?

在台灣騎車會碰到多大的空氣密度差異?

 

P V = n R T

 

空氣密度n/V = P/RT, 與氣壓成正比, 與絕對溫度成反比.

我只在氣溫10~30^oC之間才出門騎車, 絕對溫度是283~303^oK.

20/283=7.07%

因氣溫的改變, 最多會有7.07%的空氣阻力變化.

 

而且我只騎過海平面至武嶺之間的高度, 0~3275m.

每上升1000m大約減少11.5%大氣壓力.

3275x11.5%/1000=37.7%

因高度氣壓的改變, 最多會有37.7%的空氣阻力變化.

 

如果高度增加所引起的氣壓和溫度的變化對空氣密度的影響同時考慮呢?

以地面一大氣壓, 25 ^oC氣溫為基準.

每上升1000m減少11.5%大氣壓力, 空氣密度減為88.5%.

每上升1000m減少6.5^oC氣溫, 空氣密度增為298/291.5=102.2%.

綜合效應為空氣密度減為88.5% x102.2% =90.5%, 氣壓效應較明顯.

故每上升1000m可以減少9.5%空氣阻力.

武嶺上騎車, 相同速度的情況下, 空氣阻力僅為台北市的74%.

 

## 空氣阻力係數C_d

基本上這部分跟造形和表面材質有很大的關聯.

有一張  NASA的圖  可供參考.

平板與翼形airfoil物體的C_d差異將近30倍!

 

一般定義的單車沒有這麼大的造型變化.

但一般人騎車的姿勢和隨身穿戴就有不少改進空間.

只是這也不一定是金錢買得到.

像我就沒辦法把身體彎成梭形騎車.

 

 

[機械阻抗mechanical drag]

機械阻抗主要產生於輸入力矩傳遞至車輪的過程.

所有那些會轉會動的接觸面都會產生機械阻抗.

機械阻抗來源的最大宗是鏈條, 其它就是軸承.

一般單車阻抗的討論都將機械阻抗當作”可忽略不計”.

現代工業技術早就能夠將機械阻抗做到極低, 跟其它阻力相較, 確實可以忽略不計.

 

## 一般保養80分

不過, 我想那是對一般剛出廠的競賽入門級以上的單車而言.

塵封多年或少保養的賣場車肯定有不能忽視的機械阻抗.

還好這部分的改善不難, 一般的保養就可以解決大部份問題.

鏈條最好定時或定(騎乘)量清洗並上油.

軸承並非直接暴露在環境中, 不必像鏈條一樣常保養.

但是一般保養時也應順便檢查所有轉軸, 確保它們都能轉動順暢.

如果再加上有效的煞車和順暢的變速, 那這輛車就起碼有80分了.

外觀保持乾淨清潔, 又可以再加5分.

 

[加速力]

所有前述的驅動力, 助力和阻力相加減後所剩的淨力, 驅使單車前進及車輪轉動.

單車滾動前進的情況下, 車輪轉動的外圈切線速度等於單車前進的速度.

車輪轉動的外圈切線加速度也等於單車前進的加速度.

 

α = aR

ma + Iα/R = ma + Ia/R² = (m + I/R²)a

 

淨力不但推動單車平移前進, 而且也同步推動車輪轉動.

 

## 單車平移加速

F_a=ma

質量m越大越難加速.

另一方面, 質量m越大也越難減速.

 

## 車輪轉動加速與轉動慣性

前面提過, 車輪轉動角加速度α來自淨力推動車輪滾動時的轉動靜摩擦力F_r.

F_r= Iα/R = Ia/R²

車輪轉動慣性I越大越難加速.

當然, I越大也越難減速.

 

I = m_wR_g²

 

m_w : 車輪質量

R_g : 車輪平均等效迴轉半徑radius of gyration

R_g與車輪質量分布有關, 越多質量分布於轉動外圈, R_g就越大, I也就越大.

所以車輪轉動慣性I大部分是由分布在外圈的輪胎和輪框所產生.

減少輪胎和輪框重可以顯著地減少車輪轉動慣性.

假設8 Kg的單車, 配備2 Kg輪組且R_g =0.9 R.

則車輪轉動所需的加速力約佔單車整體加速力的16.8%.

加上70 Kg的騎士後, 車輪轉動加速力約佔整體加速力的2.0%.

 

 

[結語]

寫到這裡已經一個頭好幾個大.

說實在的, 了解這些東西跟騎車騎得好不好也沒多少關聯.

但還是想歸納一些簡單的事項, 當個結尾.

 

改寫單車運動方程式

F_t - F_rr - F_ad - F_gr = ma + Iα/R

 

T/R - C_rrmgcosθ – C_adρAv²/2 – mgsinθ = ma + m_waR_g²/R²

 

從方程式看各種改變的減阻加速效益.

 

## 輪胎

輪胎出現在所有的阻力和加速度項目中.

首先, 輪胎C_rr決定滾動阻抗.

然後輪胎寬窄會改變迎風面截面積A, 而影響空氣阻力.

輪胎的質量算在整體質量m之中, 而且也在車輪質量m_w中.

再加上輪胎處於車輪最外圈, 其等效迴轉半徑R_g是車輪中最大的.

所以輪胎質量對整體加速性有最大影響.

選擇高耐壓光滑C_rr小, 窄且質量小的輪胎有最大的加速效益.

沒列入方程式中的是, 輪胎也對舒適性, 路面適應性和安全性有很大影響.

輪胎應該是單車零件中最值得花心思考量取捨的.

 

## 姿勢

不說姿勢的微調, 單是彎把公路車握上把和握下把的迎風截面積A就有~8%差異.

在相對車速30 Km/h時, 握下把減少的風阻大約是滾動阻抗的1/4 .

這個減阻效益比絕大多數的空氣力學車架要高.

不過並不是每個人都能習慣長時間握下把就是了.

 

## 輪組

輪組質量出現在m與m_w中, 所以輪組減重比車架減重的加速效益高.

另外輪組慣性I= m_waR_g², 除了質量之外, 其質量的分配決定等效迴轉半徑R_g大小.

輪組質量分配越多在內圈, 其等效R_g越小, 轉動加速性也就越好.

 

## 體重

減低體重不但減少m, 也同時會減少A, 除了加速效益也會有健康和美觀等其它效益.

 

## 質量和體積

除了上述輪胎, 體重和輪組質量之外, 單車其它部分的質量都佔大約相同的份量.

低速時滾動阻抗C_rrmgcosθ佔大部分, 所以質量影響較大.

高速>20Km/h時, 空氣阻力C_adρAv²/2是主角, 所以迎風面積和放置角度和位置變重要.

 

## 看看圖吧

假設

C_rr = 0.0045, 路沒很好, 取高一點.

m = 75 Kg, 人+車+物重.

θ = 3.58^o, 6.26%坡度, 風櫃嘴平均值, sinθ=0.0625, cosθ=0.998 .

C_ad = 1 , 騎公路車握上把或平把的大約值. 依騎姿不同, 一般約0.88~1.1. (ex-0.5)

ρ = 1.226 Kg/m³, 海平面平均值.

A = 0.4 m² , 騎公路車握上把或平把的大約值. 依騎姿不同, 一般約0.36~0.51 m². (ex-0.6)

v Km/h = v/3.6 m/s .

v_a =0, 無風速.

 

# 阻力與速度的關係圖

滾動阻抗 C_rrmgcosθ = 0.0045x75x9.8x0.998 = 3.30牛頓

空氣阻力 C_adρAv²/2 =1x1.226x0.4x(v/3.6)²/2 = 0.0189 v²牛頓 (ex-0.01419)

坡度阻抗 mgsinθ = 75x9.8x0.0625 = 45.9 牛頓

騎風櫃嘴的坡度阻抗大約是相對車速  49.3 Km/h的風阻.

 

但是…

但是…

這圖看起來怪怪der…

那是不是說, 平地無風時騎  49.3 Km/h遇到的阻力相當於順風騎風櫃嘴遇到的阻力?

阻力相同, 那為什麼我常騎上風櫃嘴, 卻想不起來什麼時候在平地騎過  49.3 Km/h?

難道哪裡算錯?

再檢查一遍, 沒算錯啊.

假設也沒差太多啊.

經過三小時的疑惑不安, 午覺睡不著時, 突然靈光一現.

 

沒錯, 報紙標題可以用”騎風櫃嘴的阻力相當於平地騎  49.3 Km/h遇到的阻力”!

但是…

但是…

但是…

那只是阻力.

功率=力x速度.

阻力相同, 功率與速度成正比.

意思是說, 雖然阻力相同, 可是上風櫃嘴的速度不快, 功率會比平地騎49.3 Km/h低.

騎風櫃嘴全程花30’, 速度12.8 Km/h, 平均功率186 watt.

無風時騎平路速度49.3 Km/h, 平均功率674 watt.

所以平路騎49.3 Km/h的平均功率是風櫃嘴花30’騎完的平均功率的3.62倍!

無風時, 騎風櫃嘴速度12.8 Km/h的功率在平路可以騎31.1 Km/h.

所以單以阻力相等來看是一場誤會, 功率相等才是比較的基礎.

報紙內容要寫, 半小時騎上風櫃嘴的平均功率相當於平地騎31.1Km/h的功率.

這樣比較接近平時的騎乘感受.

 

換一張圖來瞧瞧.

 

# 功率與速度的關係圖

滾動阻抗 C_rrmgvcosθ = 0.0045x75x9.8 x(v/3.6) = 0.919v watt

空氣阻抗 C_adρAv³/2 =1x1.226x0.4x(v/3.6)³/2 = 0.00525v³ watt

坡度阻抗 mgvsinθ = 75x9.8x(v/3.6)x0.0625 = 12.8v watt

綠色線代表騎風櫃嘴時的功率-速度關係.

黃色線代表騎平路時的功率-速度關係.

風櫃嘴12.8 Km/h功率水平線則是功率消耗為186 watt的線.

相同186 watt的水平線與綠色線交於12.8 Km/h ; 與黃色線交於31.1Km/h .

 

# 順風逆風的影響

平路逆風功率 0.919v+0.00525v(v+vw)(v+vw) watt

vw: 逆風風速

平地無風30 Km/h車速所需功率169 watts.

騎200K費時6h40'.

平地蒲福3級風16 Km/h時, 相同169 watts可以順風騎到40.8 Km/h.

騎100K費時2h27'.

平地蒲福3級風16 Km/h時, 相同169 watts可以逆風騎到 20.9 Km/h.

騎100K費時4h47'.

此200K順逆風往返路程中, 平均速度為27.6 Km/h, 約為無風時速度的92%.

相同169 watts, 無風騎200K比順風騎100K+逆風騎100K快34' .